NÚMEROS PRIMOS:
Son todos aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad y el mismo. Ejemplo:
2,3,5,11,13,17,19,23,29,31,37...
NÚMEROS COMPUESTOS:
Son aquellos que tienen, además de la unidad y a ellos mismos, más de dos divisores. Por ejemplo: 12 es compuesto porque es divisible entre 2.3.4 y6.
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.
Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más, los múltiplos son infinitos, como son infinitos los números naturales.
Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son números pares, generalizando se puede decir que: todo número par es múltiplo de 2.
Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.... son múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un múltiplo de 3:
DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL
Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente. Los divisores de un número son los que dividen a éste en forma exacta.
•El uno es divisor de todos los números.
•Todo número es divisor de sí mismo.
Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el resto debe ser cero.
Algunos ejemplos:
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10,
Divisores de 35: 1, 5, 7, 35
Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
DESCOMPOSICION DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS:
Vamos a descomponer un numero en el producto de otros números que tengan como condición la de ser primos.
Para descomponer un número en sus factores primos debes seguir este
•Traza una línea vertical procedimiento y coloca el número a descomponer en la parte superior izquierda.
•Divide el número entre el menor número primo que sea posible: 2, 3, 5... (puedes aplicar los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no) Coloca el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.
•Repite el proceso hasta llegar a un cociente igual a I (uno), con lo que la des composición habrá terminado.
•El número que se descompone en sus factores primos debe ser igual al producto de todos los divisores resultantes.
Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 24:
Los números que están a la izquierda de la línea, son los cocientes parciales y los de la derecha, son los factores primos.
Recuerda que siempre debes comenzar por el menor número primo por el cual, el número que te están preguntando, sea divisible.
Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60:
Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 180:
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo de 2 o más números es el múltiplo que sea común para esos números y además es el más bajo. Por ejemplo, vamos a verlo con el 3 y el 9:
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ….
Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 ….
Vemos que tienen en común como múltiplos el 9, el 18, el 27… El más pequeño de todos ellos es el 9, por tanto, ese será el mínimo común múltiplo de 3 y 9.
CÓMO SE CALCULA EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El método para calcular el mínimo común múltiplo más directamente es el siguiente:
1 – Se descomponen los números en factores primos.
2- Se seleccionan todos los factores que aparezcan al descomponer los números, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
3 – Se multiplican los factores elegidos (con el exponente elegido para cada uno) y el resultado será el mínimo común múltiplo.
¿CUÁNDO SE UTILIZA EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Te preguntarás: ¿Y qué aplicaciones tiene el mínimo común múltiplo?¿Cuando lo voy a utilizar?
Pues el m.c.m. se utiliza sobre todo para calcular el común denominador, cuando tienes que sumar o restar fracciones con distinto denominador.
En la resolución de problemas, sabrás que tienes que utilizar el mcm cuando en el problema te pidan calcular una cantidad mayor a los datos que te da el problema y además te digan que esa cantidad debe ser la mínima.
Por ejemplo:
Dos amigos juegan a calcular distancias con los pies. El pie de uno mide 25 cm y el del otro 30 cm ¿Cuál es la distancia mínima que pueden calcular los dos?
En este caso, la distancia a calcular es mayor que la medida de los pies. Uno calcula la distancia sumando de 25 en 25 y el otro de 30 en 30. Nos preguntan cuál es la mínima distancia que pueden calcular los dos.
Por tanto, para resolver este problema hay que aplicar el m.c.m..
Ejercicio resuelto 1
Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 3 y 9, que se escribe así:
m.c.m. (3 y 9)
1 – Primero descomponemos los números. El 3 no hace falta, ya que es primo.
Por tanto descomponemos el 9:
2 – Después elegimos los factores. Escribimos 3 y 9 pero descompuestos en factores primos:
3 = 3
9 = 3²
Como único factor tenemos el 3.
El máximo exponente al que está elevado es a 2.
Por tanto, se queda como 3².
Por último, realizamos la potencia:
Veamos otro ejemplo algo más complicado. Hallar el mínimo común múltiplo de 6, 12 y 30.
Primero, descomponemos en factores primos:
Ahora elegimos los factores:
Tenemos el 2, el 3 y el 5.
El mayor exponente que aparece para el 2 es a 2. El 3 y 5 están elevados a 1.
Por tanto, elegimos 2² 3 y 5.
En el último paso, volvemos a realizar las potencias y multiplicamos:
EL MAXIMO COMUN DIVISOR
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores que tienen en común dichos números.
El m.c.d. nos permite resolver algunos problemas. Por ejemplo, para cortar listones de madera 8cm y12 cm, en listones más pequeños del mismo tamaño sin que sobre ni falte ninguno, hacemos los siguiente:
1.-En cuantas cajas se podrían empaquetar los lápices de la fotografía para que queden la misma cantidad de lápices?.
2.-¿Cuál sería la forma más justa de repartir los lápices?.
3.-¿Conoces algunos criterios de divisibilidad que se podrían aplicar? Menciónalos.
4.-Explica con tus propias palabras que son números primos y los números compuestos.
5.-El numero de la cantidad de lápices. ¿es primo o compuesto?.
6.-Explica cada uno de los siguiente criterios de divisibilidad.
a)Divisibilidad entre 2.
b)Divisibilidad entre 3.
c)Divisibilidad entre 5.
d)Divisibilidad entre 6.
e)Divisibilidad entre 9-
f)Divisibilidad entre10.
7.-Explica que son los múltiplos y los divisores de un número y da ejemplos.
1.-Completa la siguiente tabla señalando cuales criterios de divisibilidad se aplican en las siguientes cantidades
2.-Realiza los siguiente ejercicios:
a) Determina siete múltiplos de 6 partiendo de 12
b) Escribe cinco múltiplos de 6.
c) Determina siete múltiplo de 11 partiendo de 33.
3.-Determina los divisores de los siguientes números naturales.
a) 54
b) 112
c) 236
d) 24
e) 58
f) 81
g) 145
h) 88
4.- clasifica los siguientes números en primos y compuestos:
a) 9
b) 63
c) 11
d) 49
e) 45
f) 93
5.- Determina el MCD de las siguiente cantidades:
a) 24 y 36
b) 56 y 49
c) 12 y 60
6.- calcula el m.c.m de:
a) 21,9 y 15
b) 8,32 y 24
